রংপুর সরকারি কলেজ, রংপুর

যে ভেক্টরের মান শূন্য এবং যার কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই (বা দিক অনির্ণেয়), তাকে নাল ভেক্টর বা শূন্য ভেক্টর বলে।

দুটি ভেক্টর $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে, এদের ডট গুণন একটি স্কেলার রাশি। এর মান: $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos\theta$ এবং $\vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos\theta$। যেহেতু মানের কোনো পরিবর্তন হয় না এবং এর কোনো দিক নেই, তাই ডট গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে ($\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$)।

কিন্তু ক্রস গুণফলের ক্ষেত্রে দিক বিবেচনা করতে হয়। ডানহাতি স্ক্রু নিয়মানুযায়ী, $\vec{A} \times \vec{B} = (AB \sin\theta)\hat{\eta}$ এবং $\vec{B} \times \vec{A} = (BA \sin\theta)(-\hat{\eta}) = -(\vec{A} \times \vec{B})$। এখানে ভেক্টর দুটির মান সমান হলেও দিক সম্পূর্ণ বিপরীতমুখী। তাই ক্রস গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না ($\vec{A} \times \vec{B} \neq \vec{B} \times \vec{A}$)।

দেওয়া আছে, অবস্থান ভেক্টর $\vec{r}(t) = (8t)\hat{i} + (15t - 5t^2)\hat{j}$

বেগ, $$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = 8\hat{i} + (15 - 10t)\hat{j}$$

$t = 1\text{ s}$ সময়ে বেগ, $$\vec{v} = 8\hat{i} + (15 - 10(1))\hat{j} = 8\hat{i} + 5\hat{j}\text{ m/s}$$

ত্বরণ, $$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = -10\hat{j}\text{ m/s}^2$$

ধরি, বেগ ও ত্বরণের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$। ডট গুণন থেকে পাই:

$$\cos\alpha = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|}$$

এখানে, $\vec{v} \cdot \vec{a} = (8\hat{i} + 5\hat{j}) \cdot (-10\hat{j}) = -50$

$|\vec{v}| = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{89}$ এবং $|\vec{a}| = 10$

অতএব, $$\cos\alpha = \frac{-50}{10\sqrt{89}} = \frac{-5}{\sqrt{89}} \approx -0.530$$

$$\alpha = \cos^{-1}(-0.530) \approx 122^\circ\text{ (or } 122.01^\circ)$$

স্থির পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে: বস্তুটির আনুভূমিক অবস্থান $x = 8t \implies t = \frac{x}{8}$ এবং উলম্ব অবস্থান $y = 15t - 5t^2$। মান বসালে পাই: $$y = 15\left(\frac{x}{8}\right) - 5\left(\frac{x}{8}\right)^2 = 1.875x - 0.0781x^2$$ এটি একটি পরাবৃত্তাকার গতিপথের সমীকরণ।

গতিশীল গাড়ির চালকের সাপেক্ষে: গাড়িটি X-অক্ষ বরাবর $4\text{ m/s}$ সমবেগে চলছে। তাই আপেক্ষিক আনুভূমিক অবস্থান, $x' = x - 4t = 8t - 4t = 4t \implies t = \frac{x'}{4}$ এবং আপেক্ষিক উলম্ব অবস্থান, $y' = y = 15t - 5t^2$। মান বসালে পাই: $$y' = 15\left(\frac{x'}{4}\right) - 5\left(\frac{x'}{4}\right)^2 = 3.75x' - 0.3125x'^2$$ এটিও একটি পরাবৃত্তাকার গতিপথের সমীকরণ।

সিদ্ধান্ত: সমীকরণ দুটি ভিন্ন হলেও উভয় ক্ষেত্রেই সমীকরণ পরাবৃত্ত নির্দেশ করায় স্থির পর্যবেক্ষক ও গতিশীল গাড়ির চালক উভয়ের কাছেই বস্তুটির গতিপথ পরাবৃত্তাকার মনে হবে।

রাস্তার বাঁকে ভেতরের প্রান্ত অপেক্ষা বাইরের প্রান্তকে কিছুটা উঁচুতে তৈরি করা হলে, রাস্তাটি আনুভূমিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে ব্যাংকিং কোণ বলে।

সাইকেল আরোহী বাঁক নেওয়ার সময় সাইকেলসহ নিজের দেহকে ভেতরের দিকে কাত করতে পারেন, যা তাকে প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বলের যোগান দেয়। কিন্তু বাস বা ট্রাকের ভর অনেক বেশি এবং এদের কাঠামো অনমনীয় হওয়ায় এদের কাত করা সম্ভব নয়। কাত করলে গাড়ি উল্টে যাওয়ার আশঙ্কা থাকে। এই কারণে বাস-ট্রাকের কেন্দ্রমুখী বলের যোগান দেওয়ার জন্য গাড়িকে কাত না করে সরাসরি রাস্তাকেই কাত করে ব্যাংকিং তৈরি করা হয়।

দেওয়া আছে, রাস্তার প্রস্থ, $w = 10\text{ m}$ এবং উচ্চতা, $h = 1\text{ m}$।

ধরি, ব্যাংকিং কোণ = $\theta$।

আমরা জানি, $$\sin\theta = \frac{h}{w} = \frac{1}{10} = 0.1$$

$$\theta = \sin^{-1}(0.1) \approx 5.74^\circ$$

দেওয়া আছে, বক্রতার ব্যাসার্ধ, $R = 100\text{ m}$, ঘর্ষণ গুণাঙ্ক, $\mu_s = 0.4$, এবং গাড়ির বেগ, $v = 108\text{ km/h} = 30\text{ m/s}$। ব্যাংকিং কোণ, $\theta = 5.74^\circ$ (যেখানে $\tan(5.74^\circ) \approx 0.1005$)।

ঘর্ষণ বল ও ব্যাংকিং কোণ উভয়কে বিবেচনায় নিয়ে সর্বোচ্চ নিরাপদ বেগের সমীকরণ:

$$v_{\text{max}} = \sqrt{R g \left( \frac{\tan\theta + \mu_s}{1 - \mu_s \tan\theta} \right)}$$

$$v_{\text{max}} = \sqrt{100 \times 9.8 \times \left( \frac{0.1005 + 0.4}{1 - 0.4 \times 0.1005} \right)}$$

$$v_{\text{max}} = \sqrt{980 \times \left( \frac{0.5005}{0.9598} \right)} \approx \sqrt{511.07} \approx 22.61\text{ m/s}$$

যেহেতু চালকের গাড়ির বেগ ($v = 30\text{ m/s}$) সর্বোচ্চ নিরাপদ বেগ ($v_{\text{max}} = 22.61\text{ m/s}$) এর চেয়ে বেশি, তাই গাড়িটি নিরাপদে ওই বেগে বাঁক নিতে পারবে না।

প্রতি সেকেন্ডে 746 জুল কাজ করার ক্ষমতাকে 1 অশ্বক্ষমতা (1 HP) বলে। অর্থাৎ, $1\text{ HP} = 746\text{ W}$।

বৃত্তাকার পথে ঘূর্ণনশীল কোনো বস্তুর ওপর প্রযুক্ত কেন্দ্রমুখী বল সর্বদা বৃত্তের ব্যাসার্ধ বরাবর কেন্দ্রের দিকে ক্রিয়া করে এবং বস্তুর তাৎক্ষণিক সরণ ঘটে বৃত্তের স্পর্শক বরাবর। ফলে বল ও সরণের মধ্যবর্তী কোণ সর্বদা $\theta = 90^\circ$ হয়। কাজের সূত্রানুসারে, $W = Fd \cos(90^\circ) = 0$। তাই কেন্দ্রমুখী বল দ্বারা কৃতকাজ শূন্য হয়।

সংকুচিত স্প্রিংয়ের সঞ্চিত বিভব শক্তি: $E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 3000 \times (0.2)^2 = 60\text{ J}$

মেঝেতে ঘর্ষণের বিরুদ্ধে অপচয়কৃত কাজ: $W_f = f_k \times d = \mu_k m g d = 0.2 \times 3 \times 9.8 \times 4 = 23.52\text{ J}$

বৃত্তাকার পথে প্রবেশের মুহূর্তে গতিশক্তি: $E_k = E_p - W_f = 60 - 23.52 = 36.48\text{ J}$

আমরা জানি, $$\frac{1}{2} m v^2 = 36.48 \implies \frac{1}{2} \times 3 \times v^2 = 36.48 \implies v^2 = 24.32 \implies v \approx 4.93\text{ m/s}$$

একটি বস্তুর উলম্ব বৃত্তাকার পথ (ব্যাসার্ধ r) সম্পূর্ণ করার জন্য বৃত্তের সর্বনিম্ন বিন্দুতে প্রয়োজনীয় ন্যূনতম বেগ হতে হবে:

$$v_{\text{min}} = \sqrt{5 g r}$$

দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ, $r = 1.5\text{ m}$।

অতএব, প্রয়োজনীয় ন্যূনতম বেগ: $v_{\text{min}} = \sqrt{5 \times 9.8 \times 1.5} = \sqrt{73.5} \approx 8.57\text{ m/s}$

যেহেতু প্রবেশের মুহূর্তে ব্লকের প্রাপ্ত বেগ ($v = 4.93\text{ m/s}$) প্রয়োজনীয় ন্যূনতম বেগের ($v_{\text{min}} = 8.57\text{ m/s}$) চেয়ে কম, তাই ব্লকটি উলম্ব বৃত্তাকার পথটি সম্পূর্ণ করতে পারবে না।

তাত্ত্বিকভাবে যে সর্বনিম্ন তাপমাত্রায় পৌঁছালে কোনো গ্যাসের আয়তন ও চাপ শূন্য হয়ে যায়, তাকে পরম শূন্য তাপমাত্রা বলে। কেলভিন স্কেলে এর মান $0\text{ K}$ বা $-273.15^\circ\text{C}$।

কোনো গতিশীল ব্যবস্থার অবস্থান ও গঠন সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য যতগুলো স্বাধীন স্থানাঙ্ক বা রাশির প্রয়োজন হয়, তাকে ঐ ব্যবস্থার স্বাধীনতার মাত্রা (Degrees of Freedom) বলে। অণু স্বাধীনভাবে যত উপায়ে শক্তি ধারণ করতে পারে, তাই তার স্বাধীনতার মাত্রা নির্দেশ করে।

$\text{CO}_2$ এর মোল সংখ্যা, $n = \frac{W}{M} = \frac{88}{44} = 2\text{ mol}$

সমুদ্রপৃষ্ঠে তাপমাত্রা, $T_1 = 27^\circ\text{C} = 300\text{ K}$

$\text{CO}_2$ একটি সরলরৈখিক ত্রি-পরমাণুক গ্যাস হওয়ায় এর স্বাধীনতার মাত্রা, $f = 5$

গ্যাসের গতিশক্তি, $$E_k = \frac{f}{2} n R T_1 = \frac{5}{2} \times 2 \times 8.314 \times 300 = 12471\text{ J}$$

সমুদ্রপৃষ্ঠে চাপ, $P_1 = 1.013 \times 10^5\text{ N/m}^2$, তাপমাত্রা, $T_1 = 300\text{ K}$

তলদেশে তাপমাত্রা, $T_2 = 12^\circ\text{C} = 285\text{ K}$ , তলদেশে আয়তন, $V_2 = \frac{V_1}{3}$

সমন্বিত গ্যাস সূত্রমতে, $$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$$

$$\frac{P_1 V_1}{300} = \frac{P_2 (V_1/3)}{285} \implies P_2 = 2.85 P_1 = 2.887 \times 10^5\text{ N/m}^2$$

আমরা জানি, তলদেশের চাপ $P_2 = P_1 + h \rho g$

$$2.887 \times 10^5 = 1.013 \times 10^5 + h \times 1025 \times 9.8 \implies h \approx 18.66\text{ m}$$

সিদ্ধান্ত: হ্যাঁ, সমুদ্রের তলদেশের তাপমাত্রা ও চাপের পরিবর্তন বিবেচনা করে সমুদ্রের গভীরতা নির্ণয় করা সম্ভব এবং গভীরতা প্রায় 18.66 মিটার।

রেফ্রিজারেটরের হিমায়ক প্রকোষ্ঠ থেকে অপসারিত তাপের পরিমাণ এবং এর জন্য কম্প্রেসর দ্বারা সম্পাদিত কাজের অনুপাতকে কার্যসম্পাদন সহগ (COP) বলে।

রেফ্রিজারেটর সচল অবস্থায় ভেতর থেকে তড়িৎ শক্তির সাহায্যে তাপ শোষণ করে এবং কন্ডেন্সার কয়েলের মাধ্যমে মোট তাপ (শোষিত তাপ + কম্প্রেসরের কাজ) বাইরের পরিবেশে বর্জন করে। এই বর্জিত তাপ কন্ডেন্সারের মধ্য দিয়ে যাওয়ার কারণে রেফ্রিজারেটরের পেছনের অংশটি বেশ গরম হয়।

দেওয়া আছে, কার্যসম্পাদন সহগ, $K = 5$ এবং অপসারিত তাপ, $Q_C = 300\text{ J}$।

আমরা জানি, $$K = \frac{Q_C}{W} \implies 5 = \frac{300}{W} \implies W = 60\text{ J}$$

তাপ ইঞ্জিনের সম্পাদিত কাজ রেফ্রিজারেটরের কম্প্রেসরের কাজের সমান হতে হবে, অর্থাৎ $W = 60\text{ J}$।

ইঞ্জিনের কর্মদক্ষতা, $$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{300}{600} = 0.5$$

আবার, $$\eta = \frac{W}{Q_1} \implies 0.5 = \frac{60}{Q_1} \implies Q_1 = 120\text{ J}$$

অতএব, তাপ ইঞ্জিনকে তার উৎস থেকে ন্যূনতম 120 জুল তাপ শোষণ করতে হবে।

কোনো মাধ্যমে অবস্থিত ধারকের ধারকত্ব এবং শূন্য মাধ্যমে অবস্থিত একই ধারকের ধারকত্বের অনুপাতকে ঐ মাধ্যমের পরাবৈদ্যুতিক ধ্রুবক বলে।

ধারকের পরিবাহী পাত দুটিকে যখন কোনো তড়িৎ উৎসের সাথে যুক্ত করা হয়, তখন এক পাত থেকে ইলেকট্রন স্থানান্তরিত হয়ে অন্য পাতে জমা হয়। এর ফলে পাত দুটিতে সমান ও বিপরীত আধানের সৃষ্টি হয় এবং তাদের মধ্যবর্তী অন্তরক মাধ্যমে একটি স্থির তড়িৎক্ষেত্রের সৃষ্টি হয়। এই তড়িৎক্ষেত্রের বিভব শক্তিরূপেই ধারক চার্জ তথা তড়িৎ শক্তি সঞ্চয় করে।

দেওয়া আছে, প্রথম ধারকের ধারকত্ব, $C_1 = 20\text{ }\mu\text{F} = 20 \times 10^{-6}\text{ F}$, বিভব, $V_1 = 200\text{ V}$।

সঞ্চিত শক্তি, $$U_1 = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times (20 \times 10^{-6}) \times (200)^2 = 0.4\text{ J}$$

দ্বিতীয় ধারকের ধারকত্ব, $C_2 = 30\text{ }\mu\text{F} = 30 \times 10^{-6}\text{ F}$ (চার্জবিহীন, তাই $V_2 = 0\text{ V}$)।

১. সাধারণ বিভব, $$V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{20 \times 10^{-6} \times 200 + 0}{50 \times 10^{-6}} = 80\text{ V}$$

২. সংযোগের পর মোট সঞ্চিত শক্তি, $$U_2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} \times (50 \times 10^{-6}) \times (80)^2 = 0.16\text{ J}$$

৩. শক্তির অপচয়, $$\Delta U = U_1 - U_2 = 0.4 - 0.16 = 0.24\text{ J}$$

সিদ্ধান্ত: সংযোগের পর সাধারণ বিভব হবে 80 ভোল্ট এবং এই প্রক্রিয়ায় তড়িৎ শক্তি তারে তাপ ও স্ফুলিঙ্গ সৃষ্টির মাধ্যমে অপচয় হবে; শক্তির অপচয়ের পরিমাণ 0.24 জুল।

নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় একক দৈর্ঘ্য এবং একক প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট কোনো পরিবাহীর রোধকে ঐ তাপমাত্রায় তার উপাদানের আপেক্ষিক রোধ বলে।

শর্ট সার্কিট হলে কারেন্ট প্রবাহের জন্য একটি অত্যন্ত কম রোধের বিকল্প পথ তৈরি হয়। তড়িৎ প্রবাহ সর্বদা সর্বনিম্ন রোধের পথ বেছে নেয় বলে প্রায় সবটুকু কারেন্ট বাতির ভেতর দিয়ে না গিয়ে শর্ট সার্কিটের তার দিয়ে প্রবাহিত হয়। ফলে বাতিতে প্রয়োজনীয় তড়িৎ প্রবাহিত না থাকায় বাতিটি জ্বলে না।

তারের দৈর্ঘ্য, $L = 0.5\text{ m}$, ব্যাসার্ধ, $r = 0.2\text{ cm} = 2 \times 10^{-3}\text{ m}$, তারের রোধ, $R = 100\text{ }\Omega$।

প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, $A = \pi r^2 = \pi \times (2 \times 10^{-3})^2 \approx 1.2566 \times 10^{-5}\text{ m}^2$

আপেক্ষিক রোধ, $$\rho = \frac{R A}{L} = \frac{100 \times 1.2566 \times 10^{-5}}{0.5} \approx 2.513 \times 10^{-3}\text{ }\Omega\text{-m}$$

উদ্দীপক অনুসারে: P বর্তনীতে তার দুটি শ্রেণীতে যুক্ত $\implies R_P = 100 + 100 = 200\text{ }\Omega$

Q বর্তনীতে তার দুটি সমান্তরালে যুক্ত $\implies R_Q = \frac{100 \times 100}{100 + 100} = 50\text{ }\Omega$

আমরা জানি, উৎপন্ন তাপ, $H = \frac{E^2}{R} t$

শর্তমতে, $$H_P = H_Q \implies \frac{E_1^2}{R_P} t = \frac{E_2^2}{R_Q} t$$

$$\frac{E_1^2}{200} = \frac{E_2^2}{50} \implies E_1^2 = 4 E_2^2 \implies E_1 = 2 E_2$$

অতএব, সমপরিমাণ তাপ উৎপাদনের জন্য $E_1$ এর মান $E_2$ এর চেয়ে বেশি (ঠিক দ্বিগুণ) হতে হবে।

চৌম্বকক্ষেত্রের কোনো বিন্দুর চারদিকে লম্বভাবে অবস্থিত একক ক্ষেত্রফলের মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত মোট চৌম্বক ফ্লাক্সকে চৌম্বক ফ্লাক্স ঘনত্ব বলে।

চৌম্বক বলের সমীকরণ হলো $F = qvB \sin\theta$। আধানটি যদি চৌম্বকক্ষেত্রের সমান্তরালে বা বিপরীত অভিমুখে গতিশীল হয় (অর্থাৎ $\theta = 0^\circ$ বা $\theta = 180^\circ$), তবে $\sin\theta = 0$ হওয়ায় প্রযুক্ত চৌম্বক বল শূন্য হবে এবং আধানটি কোনো বল অনুভব করবে না।

প্রোটনের বেগ, $v = 4 \times 10^6\text{ m/s}$, আধান, $q = 1.6 \times 10^{-19}\text{ C}$, চৌম্বকক্ষেত্র, $B = 0.2\text{ T}$। লম্বভাবে প্রবেশের কারণে কোণ, $\theta = 90^\circ$।

সর্বোচ্চ চৌম্বক বল, $$F_{\text{max}} = q v B = 1.6 \times 10^{-19} \times 4 \times 10^6 \times 0.2 = 1.28 \times 10^{-13}\text{ N}$$

১. লম্বভাবে প্রবেশের ক্ষেত্রে ব্যাসার্ধ, $$r_1 = \frac{m v}{q B} = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 4 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.2} \approx 0.2088\text{ m (or } 20.88\text{ cm)}$$

২. $60^\circ$ কোণে প্রবেশের ক্ষেত্রে গতিপথটি সর্পিলাকার (Helical) হয়ে যায়। এর বৃত্তাকার প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধ হবে:

$$r_2 = \frac{m (v \sin60^\circ)}{q B} = r_1 \sin60^\circ$$

$$r_2 = 0.2088 \times \sin(60^\circ) \approx 0.2088 \times 0.866 \approx 0.1808\text{ m (or } 18.08\text{ cm)}$$

ব্যাসার্ধের পরিবর্তন: ব্যাসার্ধের হ্রাস $\Delta r = 0.2088 - 0.1808 = 0.028\text{ m}$ বা প্রায় 2.8 সে.মি. হ্রাস পাবে।